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<!DOCTYPE html>

<title>Diskrete Teilmenge</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Diskrete Teilmenge</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>In der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> heißt ein Raum <b>diskret</b>, wenn es zu jedem Punkt <a href="Umgebung_(Mathematik)" title="Umgebung (Mathematik)">Umgebungen</a> dergestalt gibt, dass kein anderer Punkt in der Umgebung liegt. Anschaulich liegen die Punkte im Raum isoliert.

</p><p>Das Wort stammt von <span style="font-style:normal;font-weight:normal"><a href="Altfranz%C3%B6sische_Sprache" title="Altfranzösische Sprache">altfranzösisch</a></span> <span lang="fro-Latn" style="font-style:italic">discret</span>, welches von <span style="font-style:normal;font-weight:normal"><a href="Latein" title="Latein">lateinisch</a></span> <span lang="la-Latn" style="font-style:italic">discrētus</span> stammt, dem Partizip Perfekt von <span style="font-style:normal;font-weight:normal"><a href="Latein" title="Latein">lateinisch</a></span> <span lang="la-Latn" style="font-style:italic">discernō</span> <span lang="de" style="font-style:normal;font-weight:normal">‚unterscheiden, absondern‘</span>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Teilmengen_des_euklidischen_Raums">Teilmengen des euklidischen Raums</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Diskrete_Teilmengen_der_reellen_Zahlen">Diskrete Teilmengen der reellen Zahlen</h3></div>

<p>Eine Teilmenge <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M\subset I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M\subset I}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d64a545783ce1e4cb4cbfb879e84a94f03b3353d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.712ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M\subset I}" loading="lazy"></span> der <a href="Reelle_Zahlen" class="mw-redirect" title="Reelle Zahlen">reellen Zahlen</a> heißt diskret, wenn es zu jedem Element <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in M}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9df57d73e9532bb93a1439890bcddbc2806f5859.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.613ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in M}" loading="lazy"></span> ein offenes <a href="Intervall_(Mathematik)" title="Intervall (Mathematik)">Intervall</a> gibt, das außer <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"></span> kein weiteres Element von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"></span> enthält. Die Elemente einer diskreten Menge sind anschaulich voneinander isoliert, getrennt.

</p><p>Zum Beispiel ist die Menge der <a href="Ganze_Zahlen" class="mw-redirect" title="Ganze Zahlen">ganzen Zahlen</a> eine diskrete Teilmenge der reellen Zahlen. Die <a href="Rationale_Zahlen" class="mw-redirect" title="Rationale Zahlen">rationalen Zahlen</a> sind dagegen nicht diskret, denn z. B. für die Zahl 0 gibt es kein offenes Intervall, das außer 0 keine weiteren Brüche enthält.

</p><p>Diskretheit bedeutet nicht, dass es zwischen je zwei Elementen einer diskreten Menge nur endlich viele Elemente geben muss. Zum Beispiel ist die Menge

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M:=\{-1,-1/2,-1/3,-1/4,\dotsc \}\cup \{1,1/2,1/3,1/4,\dotsc \}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0921e93c88131bbd8db8e1e5dcffef240f93e780.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:57.62ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle M:=\{-1,-1/2,-1/3,-1/4,\dotsc \}\cup \{1,1/2,1/3,1/4,\dotsc \}}" loading="lazy"></span>

eine diskrete Teilmenge: Für jedes Element <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1/n}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1/n}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0e10667bad240500f5044257143510127e03d69.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.72ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 1/n}" loading="lazy"></span> gibt es das offene Intervall <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {]1/(n+1),1/(n-1)[}}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {]1/(n+1),1/(n-1)[}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/64e1ee638063d73ff90f08b4c90bc8ff3ba717f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.391ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {]1/(n+1),1/(n-1)[}}" loading="lazy"></span>, das aus <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"></span> nur <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1/n}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1/n}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0e10667bad240500f5044257143510127e03d69.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.72ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 1/n}" loading="lazy"></span> enthält; analoges gilt für die Elemente <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1/n}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1/n}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b49cce315e1fec85e288c4ccbe1c14ab2bb4f5b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.528ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle -1/n}" loading="lazy"></span>. Zwischen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/704fb0427140d054dd267925495e78164fee9aac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.971ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -1}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}" loading="lazy"></span> liegen jedoch unendlich viele Elemente von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"></span>.

</p><p>Nicht diskret ist hingegen die Menge <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M\cup \{0\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M\cup \{0\}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45bedd840c8a24656fc901257b939725a2dc04da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.512ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle M\cup \{0\}}" loading="lazy"></span>, weil das Element 0 nicht isoliert ist.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Diskrete_Teilmengen_in_höheren_Dimensionen"><span id="Diskrete_Teilmengen_in_h.C3.B6heren_Dimensionen"></span>Diskrete Teilmengen in höheren Dimensionen</h3></div>

<p>Analog bezeichnet man <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c8e2ebac5aaed569dacf365f3365b1cd07a1b4a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.437ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"></span> als diskret, wenn für alle <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in M}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9df57d73e9532bb93a1439890bcddbc2806f5859.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.613ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in M}" loading="lazy"></span> eine offene <a href="Umgebung_(Mathematik)" title="Umgebung (Mathematik)">Umgebung</a> in <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"></span> existiert, die außer <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"></span> kein weiteres Element von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"></span> enthält. Äquivalent ist die Forderung, dass <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"></span> keinen <a href="H%C3%A4ufungspunkt#Häufungspunkte_und_Berührpunkte_einer_Menge" title="Häufungspunkt">Häufungspunkt</a> enthält.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Diskreter_metrischer_Raum">Diskreter metrischer Raum</h2></div>

<p>Ein <a href="Metrischer_Raum" title="Metrischer Raum">metrischer Raum</a>, dessen Metrik die Gestalt

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d(x,y)=1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/28eb45f6b22e7a810effe85be4e9a63ff355358b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.805ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d(x,y)=1}" loading="lazy"></span> für <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\neq y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\neq y}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f51b711ca7f932963cdb268b0817dc72d6258733.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.584ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x\neq y}" loading="lazy"></span>

hat, heißt <i>diskreter metrischer Raum</i>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h3></div>

<p>Ein diskreter metrischer Raum ist <a href="Vollst%C3%A4ndiger_Raum" title="Vollständiger Raum">vollständig</a> und auch als topologischer Raum diskret.

</p><p>Ein metrischer Raum, der als topologischer Raum diskret ist, muss allerdings nicht die diskrete Metrik besitzen, und auch nicht vollständig sein. Zum Beispiel ist die im Abschnitt „Diskrete Teilmenge der reellen Zahlen“ angegebene Menge <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M=\{-1/n,1/n\mid n\in \mathbb {N} \}}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M=\{-1/n,1/n\mid n\in \mathbb {N} \}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4d17d065ca2623c17c37bf31e6ab8e69309a9d8d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.998ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle M=\{-1/n,1/n\mid n\in \mathbb {N} \}}" loading="lazy"></span> ein diskreter topologischer Raum, aber der Grenzwert 0 der <a href="Cauchyfolge" class="mw-redirect" title="Cauchyfolge">Cauchyfolge</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1,1/2,1/3,\dotsc )}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1,1/2,1/3,\dotsc )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a1841f8e39937f2599fda1316299c14fa12e72d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.772ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (1,1/2,1/3,\dotsc )}" loading="lazy"></span> liegt außerhalb von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"></span>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Diskreter_topologischer_Raum">Diskreter topologischer Raum</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Diskrete_Topologie" title="Diskrete Topologie">Diskrete Topologie</a></i></div>

<p>Man verallgemeinert den Begriff des isolierten Punktes auf <a href="Topologischer_Raum" title="Topologischer Raum">topologische Räume</a> durch folgende Definition:

</p><p>Ein Punkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"></span> des topologischen Raumes <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"></span> heißt <a href="Isolierter_Punkt" title="Isolierter Punkt">isolierter Punkt</a>, wenn die einelementige Menge <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{x\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{x\}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a120eeb8a091b516595765bd08b306f2394e7721.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.655ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{x\}}" loading="lazy"></span> <a href="Offene_Menge" title="Offene Menge">offen</a> ist.

</p><p>Ein isolierter Punkt hat also eine <a href="Umgebung_(Mathematik)" title="Umgebung (Mathematik)">Umgebung</a>, „in der er allein ist“. Mit diesem Begriff verallgemeinert man nun den Begriff der diskreten Teilmenge:

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definition">Definition</h3></div>

<p>Ein topologischer Raum heißt <i>diskreter topologischer Raum</i>, wenn jeder seiner Punkte isoliert ist.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Eigenschaften_2">Eigenschaften</h3></div>

<ul><li>In einem diskreten topologischen Raum ist jede Teilmenge offen.</li>

<li>Eine Funktion auf einem topologischen Raum, deren <a href="Bildmenge" class="mw-redirect" title="Bildmenge">Bildmenge</a> diskret ist, ist genau dann <a href="Stetige_Funktion" title="Stetige Funktion">stetig</a>, wenn sie <a href="Lokal_konstante_Funktion" title="Lokal konstante Funktion">lokal konstant</a> ist.</li>

<li>Jede Funktion, deren <a href="Definitionsbereich" class="mw-redirect" title="Definitionsbereich">Definitionsbereich</a> diskret ist, ist stetig.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Boto_von_Querenburg" title="Boto von Querenburg">Boto von Querenburg</a>: <i>Mengentheoretische Topologie</i> (= <i>Springer-Lehrbuch</i>). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.</li></ul></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2023-04-01" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Diskrete_Teilmenge&oldid=232383142">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>